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            1.3函数的极限_图文

            第三节 函数的极限
            一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质

            一、自变量趋于有限值时函数的极限

            1.

            时函数极限的定义

            引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为

            面积为A )

            直接观测值 确定直接观测值精度 ? :

            边长

            x ? x0 ? ?

            间接观测值 任给精度 ? , 要求 x2 ? A ? ?
            面积
            A x0

            定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,

            若 ?? ? 0, ?? ? 0,当 0 ? x ? x0 ? ? 时, 有 f (x) ? A ? ?

            则称常数 A 为函数 当

            时的极限, 记作

            lim f (x) ? A 或

            x?x0





            几何解释:

            时, 有

            y
            A??
            A
            A??

            y ? f (x)

            这表明: 极限存在
            函数局部有界

            x0 x0 ? ? x

            例1. 证明

            证:

            f (x) ? A

            故 ?? ? 0, 对任意的 ? ? 0, 当

            时,

            总有 因此

            例2. 证明

            证:

            ? 2 x ?1

            ?? ? 0, 欲使

            只要

            取 ? ? ? 2 , 则当 0 ? x ?1 ? ? 时 , 必有

            因此

            例3. 证明

            证: f (x) ? A

            故 ?? ? 0, 取 ? ? ? , 当 x2 ?1? 2 ? ?
            x ?1

            因此

            lim x2 ?1 ? 2 x?1 x ?1

            时 , 必有

            2. 左极限与右极限

            左极限 :

            f

            (x0? )

            ? lim
            x?x0?

            f

            (x)

            ?

            A

            ?? ? 0, ?? ? 0, 当 x ?( x0 ?? , x0 )

            时, 有

            右极限 :

            f

            (x0? )

            ? lim
            x?x0?

            f

            (x) ?

            A

            ?? ? 0, ?? ? 0, 当 x ?( x0 , x0 ? ? )

            时, 有

            定理 1 .

            lim f (x) ? A
            x?x0

            lim f (x) ? lim f (x) ? A

            x?x0?

            x?x0?

            例4. 设函数

            f

            (

            x)

            ?

            ?? ?

            x? 0

            1, ,

            ??x ?1 ,

            x?0 x?0 x?0

            y
            y ? x ?1

            1
            o ?1

            x

            y ? x ?1

            讨论 x ? 0 时 f (x) 的极限是否存在 .

            解: 利用定理 1 . 因为

            lim f (x) ? lim (x ?1) ? ?1

            x?0?

            x?0?

            lim f (x) ? lim (x ?1) ? 1

            x?0?

            x?0?

            显然 f (0? ) ? f (0? ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
            x?0

            二、自变量趋于无穷大时函数的极限

            定义2 . 设函数

            大于某一正数时有定义, 若

            ?? ? 0, ?X ? 0,

            则称常数

            A 为函数

            时的极限, 记作

            lim f (x) ? A
            x??
            x ? ?X 或x ? X

            A ? ? ? f (x) ? A ? ?

            几何解释:

            y
            A??

            A

            A??

            ?X o

            X

            直线 y = A 为曲线

            的水平渐近线

            y ? f (x) x

            例5. 证明 lim 1 ? 0. x?? x

            证:

            1?0 ? 1

            x

            x

            故 ?? ? 0, 欲使
            取X ?1,
            ?
            因此

            即 就有

            注:

            y
            y

            ?

            1

            x

            ox

            两种特殊情况 :
            lim f (x) ? A
            x???

            ?? ? 0, ?X ? 0, 当 f (x) ? A ? ?

            时, 有

            ?? ? 0, ? X ? 0, 当 x ? ?X 时, 有 f (x) ? A ? ?
            几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .

            例如,

            1

            1

            都有水平渐近线 y ? 0;

            1? x

            x

            又如,

            都有水平渐近线 y ? 1.

            三、函数极限的性质

            定理2 若

            且 A > 0 , 则存在 (A<0)

            f (x) ? 0.

            ( f (x) ? 0)

            证: 已知

            即?? ? 0,



            时, 有

            当 A > 0 时, 取正数

            (< 0)

            (? ? ?A)

            则在对应的邻域



            (? 0)

            推论: 若

            则存在

            时, 有

            分析:

            若取 ? ? A , 则在对应的邻域



            2

            A ? 0:

            A ? f (x) ? 3A

            2

            2

            A ? 0: ? 3 A ? f (x) ? ? A

            2

            2

            使当

            定理 3 . 若在 的某去心邻域内 f (x) ? 0 , 且

            则 A ? 0.

            ( f (x) ? 0)

            (A ? 0)

            证: 用反证法.

            假设 A < 0 , 则由定理 2,

            存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内

            与已知

            条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ? 0 .

            (同样可证 f (x) ? 0 的情形)

            内容小结
            1. 函数极限的 ε - δ 或 ε - X 定义及应用

            2. 函数极限的性质: 保号性定理

            思考与练习

            左右极限等价定理

            1.

            若极限 lim
            x ? x0

            f (x)存在,

            是否一定有 lim
            x ? x0

            f

            (x) ?

            f

            (x0 )

            2. 设函数 f (x) ?

            a x2 , x ? 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x ?1, x ? 1 x?1

            a? 3 .



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