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            1.8-1.9函数的连续性_图文

            第八节 函数的连续性与间断点
            一、函数连续性的概念 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性

            一、 函数连续性的概念

            定义: 设函数

            在 的某邻域内有定义 , 且

            则称函数 f (x)在 x0 连续.

            可见 , 函数

            在点 x0 连续必须具备下列条件:

            (1)

            在点 有定义 , 即

            存在 ;

            (2) 极限

            存在 ;

            (3)

            若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上

            连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .

            在闭区间

            上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].

            例如,

            ( 有理整函数 )



            上连续 .

            又如, 有理分式函数

            在其定义域内连续.

            ?只x要0 ?Q(?(x?0

            ,)???0),,

            都lim有
            x ? x0

            Pli(mx)R?(
            x ? x0

            Px)(

            x?0R) (

            x0

            )

            对自变量的增量

            有函数的增量

            函数

            在点 连续有下列等价命题:

            lim
            x ? x0

            f

            (x) ?

            f

            (x0 )

            lim ?y ? 0
            ?x?0

            lim
            ?x?0

            f

            ( x0

            ? ?x)

            ?

            f

            (x0 )

            y y ? f (x)

            ?y

            f (x0? ) ? f (x0 ) ? f (x0? )
            左连续 右连续

            ?x
            o x0 x x

            ?? ? 0, ?? ? 0, 当 x ? x0 ? ?x ? ? 时, 有 f (x) ? f (x0) ? ? y ? ?

            例. 证明函数



            内连续 .

            证: ?x ?(??, ? ? )

            ?y ? sin(x ? ?x) ? sin x

            ?y

            ?

            2

            sin

            ?x 2

            cos(

            x

            ?

            ?x 2

            )

            ? ?x ?x ? 0 0



            这说明



            同样可证: 函数

            内连续 .



            内连续 .

            二、 函数的间断点
            设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一函数 f (x) 在点 不连续 :

            (1) 函数 在 无定义 ;

            (2) 函数

            在 虽有定义 , 但

            不存在;

            (3) 函数 在 虽有定义 , 且
            lim f (x) ? f (x0)
            x ? x0
            这样的点 称为间断点 .

            存在 , 但

            间断点分类:

            第一类间断点: 及

            若 第二类间断点:

            均存在 ,
            称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .



            中至少一个不存在 ,

            若其中有一个为 ? , 称 x0 为无穷间断点 .
            若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .

            例如:

            y
            y ? tan x

            x?

            ?
            2

            为其无穷间断点 .

            x ? 0 为其振荡间断点 .
            y

            o?

            x

            2

            y y ? sin 1 x
            0x

            x ? 1为可去间断点 .

            o1 x

            ?x, x ?1

            (4)

            y

            ?

            f

            (x)

            ?

            ? ?

            1 2

            ,

            x ?1

            y
            1

            1

            显然 lim f (x) ? 1 ? f (1)

            2

            x?1

            o

            x ? 1为其可去间断点 .

            (5)

            y?

            f

            (x)

            ?

            ?? ?

            x ?1 0

            , ,

            x?0 x?0

            ??x ? 1 , x ? 0

            f (0? ) ? ?1,

            f (0? ) ? 1

            x ? 0 为其跳跃间断点 .

            1x

            y

            1

            o

            x

            ?1

            内容小结
            在点 连续的等价形式

            左连续 右连续

            在点 间断的类型

            可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限?#21363;?#22312;

            第二类间断点

            无穷间断点 振荡间断点

            左右极限至少有一 个不存在

            思考与练习
            1.讨论函数

            间断点的类型.

            答案: x = 1 是可去间断点 , x = 2 是无穷间断点 .

            2.?#39029;?#24182;确定函数 f (x) ?

            1 间断点及其类型. x

            1 ? e1?x

            解: 间断点 x ? 0, x ? 1

            lim f (x) ? ? , x ? 0 为无穷间断点;
            x?0

            当 x ? 1? 时,

            x ???, 1? x

            f (x) ? 0

            当 x ? 1? 时,

            x ???, 1? x

            f (x) ?1

            故 x ? 1 为跳跃间断点.

            在 x ? 0, 1处, f (x)连续.

            第九节 连续函数的运算与初等函 数的连续性

            定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,

            商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 在其定义域内连续

            定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调

            递增 (递减).
            例如, y ? sin x在

            上连续单调递增,

            其反函数 y ? arcsin x 在 [-1 , 1] 上也连续单调递增.

            又如, 其反函数

            在 在

            上连续 单调递增, 上也连续单调递增.

            定理3. 连续函数的复合函数是连续的.

            证: 设函数

            且 ?(x0 ) ? u0 .

            于是 故复合函数



            lim f (u)
            u ?u0

            ? f [?(x0 )]

            例如,

            是由连续函数

            x ?(??,0) (0, ??)

            复合而成 , 因此
            y
            o

            在x ?(??,0) (0, ??) 上连续 .
            y ? sin 1 x
            x

            初等函数的连续性

            基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 例如,

            一切初等函数 在定义区间内 连续

            y ? 1? x2 的连续区间为

            (端点为单侧连续)

            y ? ln sin x 的连续区间为

            例1. 求 解: 原式

            例2. 求

            解: 令 t ? a x ?1, 则 x ? loga (1? t), 原式 ? lim t t?0 loga (1? t)

            说明: 当

            时, 有

            ln(1? x) ~ x

            ex ?1 ~ x

            例3. 求 解: 原式

            3 sin

            x

            ln(1

            ?

            2

            x)

            3 ?2x
            x

            说明: 若 lim u(x) ? 0, lim v(x) ? ?, 则有

            x ? x0

            x ? x0

            lim ?1? u(x) ?v(x) ? e
            x ? x0
            lim v(x)u(x)
            ? e x?x0



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