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            来自官方线性代数配套ppt上知识点总结

            行列式
            1 全排列
            把 n 个不同的元素排成一列,叫做这 n 个元素的全排列(或排列)

            2 逆序数
            在一个排列 (i1i2 it is in ) 中,若数 it > is ,则称这两个数组成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列.

            3 计算排列逆序数的方法
            方法 1: 分别计算出排在 1,2, , n 1, n 前面比它大的数码之和,即分别算出 1,2, , n 1, n 这 n 个元素的逆序 数,这 n 个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 方法 2: 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和, ?#27492;?#20986;排列中每个元素的逆序数, 每个元 素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数

            4 对 换
            定义:在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,称为一次对换.将相邻两个元素对调,叫 做相邻对换 定理:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性 推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

            5 n 阶行列式的定义
            a11 a12 a1n a a a2 n D = 21 22 = an1 an 2 ann

            p1 p2 pn

            ∑ ( 1) a

            t

            p1 1 p 2 2

            a

            a pn n

            其中 p1 p 2… p n 为自然数1,2,… , n的一个排列;

            t为这个排列的逆序数; n阶行列式D亦可定义为 D=
            p1 p 2… p n

            p1 p 2… pn



            表示对1,2,… , n的所有排列取和

            ∑ (1) a a
            p11

            t

            p2 2

            …a p n ,
            n

            其中t为行标排列 p1 p 2 … p n 的逆序数.

            6 n 阶行列式的性质

            1)行列式与它的转置行列式相等, 即D = DT . 2)互换行列式的两行(列), 行列式变号. 3)如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式等于零. 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k , 等于用数 k 乘此行列式. 5)行列式中某一行 (列) 的所?#24615;?#32032;的公因子可以提到行列式符号的外面. 6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式为零. 7)若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和, 则此行列式等于两个行列式之和. 8)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数, 然后加到另一列 (行) 对应的元素上去, 行列式的值不变.

            7 行列式按行(列)展开
            余子式与代数余子式 在n阶行列式中,把元素 aij 所在的第i行和第j 列划去后, 留下来的 n 1阶行列式叫做元素 aij 的余子式,记作 M ij ; 记 Aij = (1)
            i+ j

            M , A 叫做元素 a 的代数余子式.
            ij ij ij

            8 克拉默法则
            a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , + + + a 2 n x n = b2 , 如果线性方?#22871;閍 21 x1 a 22 x2 的系数行列式 D ≠ 0, a x + a x + + a x = b . n2 2 nn n n n1 1 那?#27492;?#26377;唯一解

            Dj , j = 1,2, , n. D 其中 D(j = 1,2, , n)是把系数行列式 D中第j列换成常数项 b1 , b2, bn 所得到的行列式. j

            x

            j

            =

            克拉默法则的理论价值 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , + + + a 2 n x n = b2 , 如果线性方?#22871;閍 21 x1 a 22 x2 的系数行列式D ≠ 0 a x + a x + + a x = b . n2 2 nn n n n1 1 那?#27492;?#19968;定有解,且解唯一 定理: 如果上述线性方?#22871;?#26080;解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零 定理: a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0, + + + a2 n xn = 0, 如果齐次线性方?#22871;?a21 x1 a 22 x2 的系数行列式D ≠ 0 a x + a x + + a x = 0. n2 2 nn n n1 1 那?#27492;?#27809;有非零解. 定理: 如果上述齐次线性方?#22871;?#26377;非零解,则它的系数行列式必为零

            矩阵及其运算
            1 矩阵的定义
            a11 由m × n个数 aij (i = 1,2, m; j = 1,2, n)排成m行n列的数表A = a 21 am1 叫做m行n列矩阵, 简称m × n矩阵 其中m × n个数叫做矩阵A的元素, aij 叫做矩阵A的第i行第j?#24615;?#32032;. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵. 元素是复数的矩阵叫做复矩阵 (1)式可简记为A = (aij )
            m× n

            a a a

            12 22


            m2



            2n amn
            1n

            a a

            (1)

            或A = (aij ), m × n矩阵A也记作 Am×n .

            2 方阵 列矩阵 行矩阵
            对(1)式, 当m = n时, A称为n阶方阵 a1 只有一列的矩阵A = a2 叫做列矩阵; am 只有一行的矩阵A = (a1 a 2 an )叫做行矩阵.

            3 同型矩阵和相等矩阵
            两个矩阵的行数相等,列数也相等时,就称它们是同型矩阵 如果A = (aij )与B = (bij )是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即

            aij = bij

            (i = 1,2, , m; j = 1,2, , n).那么就称矩阵A与矩阵B相等, 记作A = B

            4 零矩阵 单位矩阵
            元素都是零的矩阵称为零矩阵, 记作O 主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的n阶方阵, 叫做n阶单位阵, 简记作E

            5 矩阵相加
            设A = (aij )m×n , B = (bij )m×n 为两个同型矩阵, 矩阵加法定义为 A + B = ?#25442;?#24459;: A + B = B + A 结合律: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

            (a + b )
            ij

            ij m× n

            , A + B称为A与B的和

            设A = ( aij ), 记 A = ( aij ), A称为矩阵 A的负矩阵, 从而有 A + ( A) = O, 并规定 A B = A + ( B )

            6 数乘矩阵
            数λ与矩阵 A的乘积记作 λA或Aλ , 规定为 λA = Aλ = (λ aij )

            运算规律 (λ ) A = λ ( A) (λ + ) A = λA + A

            λ ( A + B ) = λA + λB

            7 矩阵相乘
            设A = (aij )m×s , B = (bij )s×n , 规定A与B的乘积是一个m × n矩阵C = (cij )m×n , 其中 cij = ai1 b1 j + ai 2 b 2 j + + ais bsj = ∑ aik bkj, = 1,2, , m; j = 1,2, n), 记作 (i
            k =1 s

            C = AB

            运算规律 ( AB)C = A( BC )

            λ ( AB) = (λA) B = A(λB),

            (其中λ为数)

            A( B + C ) = AB + AC , ( B + C ) A = BA + CA E m Am×n = Am×n = Am×n E n

            8 方阵的运算
            n 阶方阵的幂 设A是n阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = A1 A1 , , Ak +1 = Ak A1 , 其中k是正整数
            k l k +l A A =A ,

            ( Ak ) = Akl , 其中k , l为正整数
            k ( AB) ≠ Ak Bk

            l

            一般地

            方阵的行列式 由n阶方阵A的元素所构成的行列式, 叫做方阵A的行列式, 记作 A 或 det A 运算规律 设λ为数, A, B为n阶方阵, 则

            λA = λ n A ; AB = A B

            9 一些特殊的矩阵
            转置矩阵

            把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵, 叫做A的转置矩阵, 记作 AT ( AT ) = A;
            T ( A + B) = AT + BT ; T (λA) = λ AT ; T ( AB) = BT AT T

            对称矩阵 设A为n阶方阵,如果 AT = A, 则称A为对称矩阵 反对称矩阵 设A为n阶方阵,如果 AT = A, 则称A为反对称矩阵 幂等矩阵 设A为n阶方阵,如果 A2 = A, 则称A为幂等矩阵 对合矩阵 设A为n阶方阵,如果 A2 = E , 则称A为对合矩阵 正交矩阵 设A为n阶方阵,如果 AT A = A AT = E , 则称A为正交矩阵 对角矩阵 设A为n阶方阵,如果除了主对角线以外, 其余元素全为零, 则称A为对角矩阵 上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵 下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵 伴随矩阵

            A11 A21 An1 A12 A22 An 2 行列式 A的各元素的代数余子式 Aij 所构成的方阵 A = 叫做方阵A的伴随矩阵 A1n A2 n Ann
            伴随矩阵具有重要性质 : A A = A A = A E

            10 逆矩阵
            设A为n阶方阵, 如果存在矩阵B, 使AB = BA = E, 定义: 则称矩阵A是可逆的(或非奇异的,非退化的,满秩的) 且矩阵B称为A的逆矩阵.

            若A有逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的, A的逆矩阵记作 A1 相关定理及性质 方阵A可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 若矩阵A可逆,则 A1 = A A ( A1) = A; (λA) = ( AT ) = ( A1)
            1
            T
            1 1



            1 1 A (λ ≠ 0); λ

            若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且 ( AB)1 = B 1 A1 逆矩阵的运算法则

            (A )

            1 1

            =A

            (kA)1 = 1 A1 (k ≠ 0)
            k
            1 1 ( AB )1 = B 1 A1 推广 ( A1 A2 A3 .... AS )1 = AS1 AS1.... A2 A11

            (A ) = ( A )
            1 T

            T 1

            A 1 = A
            n 1

            1

            (A ) = ( A )
            1

            1 n

            A 1 A 0 = 0 B 0

            0 0 , B 1 B

            A 0 = 1 A 0

            1

            B 1 0

            11 分块矩阵
            矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证. 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似

            矩阵的初等变换与线性方?#22871;?br />1 初等变换的定义
            换法变换: 对调矩阵的两行(列), 记作 r i r j (ci c j ) 倍法变换:以数k ≠ 0乘某一行(列)中的所?#24615;?#32032;, 记作 r i × k (ci × k ) 消法变换: 把某一行(列)所?#24615;?#32032;的 k?#37117;?#21040;另一行 (列)对应的元素上去 , 记作 r i + k r j (c i + k c j ) 以上三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换

            2 矩阵的等价
            如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价, 记作A ~ B 反身性: A ~ A; 对称性: 若A ~ B, 则B ~ A; 传递性: 若A ~ B, B ~ C , 则A ~ C.

            3 初等矩阵
            由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 (1)换法变换:对调两行(列) ,得初等矩阵 E (i, j ) (2)倍法变换:以数 k (非零)乘某行(列) ,得初等矩阵 E (i (k )) (3)消法变换:以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去,得初等矩阵 E (ij (k ))

            4 行阶梯形矩阵
            对矩阵进行初等行变换,可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是:可画出一条阶梯线,线的下方全为 0;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零 元.

            5 行最简形矩阵
            经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一?#20132;?#20026;行最简形矩阵 其特点是:非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在列的其它元素都为 0.

            6 矩阵的标准形
            对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到矩阵的标准形 其特点是:左上角是一个单位矩阵,其余元素都为 0. 任何一个m × n矩阵, 总可以经过初等变换(行变换和列变换), 化为标准形F = 此标准形由m, n, r三个数完全?#33539;? 其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数. 所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类 标准形 F 是这个等价类?#34892;?#29366;最简单的矩阵

            Er O O O

            m× n

            7 矩阵的秩
            定义: 在 m × n 矩阵 A 中, 任取 k 行和 k 列 , 位于这些行列交叉处的

            k 个元素 , 不改变它们在 A 中所处的位置次序而得 到的 k 阶行列式 , 称为矩阵 A 的 k 阶子式 .
            2

            定义: 设在矩阵 A 中有一个不等于 0的 r 阶子式 D , 且所有 r + 1阶子式 (如果存在的话 )全等于 0 , 那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式 , 数 r 称为矩阵 A 的秩 , 记作 R ( A).并规定零矩阵的秩等于 0 .

            8 矩阵秩的性质及定理
            如果A中所有r + 1阶子式都为零, 则R( A) ≤ r ; 如果A中有一个非零的r阶子式, 则R( A) ≥ r ;

            R( AT ) = R( A);
            定理: 若A ~ B, 则R( A) = R( B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 若A为n阶可逆矩阵, 则 (1) ( 2) (3) ( 4)

            A的最高阶非零子式为 A ; R ( A ) = n; A的标准形为单位矩阵 E ; A ~ E.

            9 线性方?#22871;?#26377;解判别定理
            定理: n元齐次线性方?#22871;?Am× n x = 0有非零解 系数矩阵的秩 R ( A) < n. 定理: n元非齐次线性方?#22871;?Am×n x = b有解 系数矩阵 A的秩等于增广矩阵 B = ( A, b )的秩.

            10 线性方?#22871;?#30340;解法
            齐次线性方?#22871;? 把系数矩阵化成行最简形矩阵,写出通解 非齐次线性方?#22871;? 把增广矩阵化成行阶梯形矩阵,根据有解判别定理判断是否有解,若有解,把增广矩阵进一?#20132;?#25104; 行最简形矩阵,写出通解.

            11 初等矩阵与初等变换的关系

            设 A是一个 m × n矩阵 , 对 A施行一次初等行变换 , 相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵 ; 对 A施行一次初等列变换 , 相当于在 A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵 . 设A为可逆矩阵 , 则存在有限个初等矩阵 P1 , P 2 , , P l , 使 A = P1 P 2 P l . 推论: m × n矩阵 A ~ B的充分必要条件是 : 存在 m阶可逆矩阵 P及 n阶可逆矩阵 Q , 使得 PAQ = B.

            向量组的线性相关性
            1 向量的定义
            定义:
            n 个有次序的数

            a ,a
            1

            2

            , , a n 所组成的数组称为 , 第 i 个数

            n 维向量 .

            这 n 个数称为该向量的分量

            a

            i

            称为第 i 个分量 .

            n维向量写成列的形式 , 称为列向量 , 即 a

            a1 = a2 an

            a

            a1 = a2 an
            T

            n维向量写成行的形式 , 称为行向量 , 即 a = (a1 ,
            向量的相等

            a
            T

            2

            , ,

            a)
            n

            设 a = ( a1 , a 2 , , a n ), b = (b1 , b 2 , , b n )则 a = b 零向量:分量全为 0 的向量称为零向量.

            T

            T

            T

            a = b (i = 1,2, , n )
            i i

            a

            T

            = O ai = 0(i = 1,2, , n) ≠O

            a

            T

            a 中至少有一个不为
            i T

            0 , (i = 1, 2 , , n )
            T T

            ?#21512;?#37327;: 向量 a = (a1 , a 2 , , an )的?#21512;蛄考?#20316; a , 且 a = ( a1 , a 2 , , a n ).

            2 向量的线性运算
            a1 b1 a2 b2 向?#32771;?#27861;:设 α = , β = ,定义 α an bn



            a1 + b1 a 2 + b2 = ;定义 α + a n bn

            β

            a1 b1 a 2 b2 = a n bn

            a1 ka1 a2 ka 2 数乘向量:设 α = ,数 k ,定义 kα = an ka n 向?#32771;?#27861;和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则: 设α , β , ?#26790;猲维向量,1, k , l为数, O为零向量. (1)加法?#25442;?#24459; (2)加法结合律

            α + β = β + α;
            (α + β ) + γ = α + ( β + γ );

            (3)对任一个向量α , 有α + O = α ; (4)对任一个向量α , 存在?#21512;?#37327; α , 有α + (α ) = O; (5) 1α = α ;

            (6)数乘结合律 (7)数乘分配律 (8)数乘分配律

            k (lα ) = (kl )α ; k (α + β ) = kα + kβ ;
            (k + l )α = kα + lα .

            除了上述八条运算规则,显?#25442;?#26377;以下性质: (1' ) 0α = O, kO = O(其中0为数零, k为任意数); (2' )若kα = O, 则或者k = 0, 或者α = O; (3' )向量方程α + x = β 有唯一解x = β α .

            3 线性组合
            若干个同维数的列(行)向量所组成的集合叫做向量组. 定义: 给定向量组 A : α 1 ,α 2 , ,α m , 对于任何一组实数

            k ,k
            1

            2

            , , k m ,向量 k 1α 1 + k 2 α 2 + + k m α m

            称为向量组 A的一个线性组合 , k 1 , k 2 , , k m 称为这个线性组合的系 数.

            4 线性表示
            定义:

            设给定向量组 A : α 1 ,α 2 , ,α m 和向量 β 如果存在一组实数

            k ,k
            1

            2

            , , k m , 使 β = k 1α 1 + k 2 α 2 + + k m α m ,

            则向量 β 是向量组 A 的线性组合 , 这时称向量 β 能?#19978;?#37327;组 A线性表示 . 定理: 向量 β 能?#19978;?#37327;组 A线性表示 矩阵 A = (α 1 ,α 2 , ,α m )的秩等于矩阵 B = (α 1 ,α 2 , ,α m , β )的秩. 定义: 设有两个向量组 A : α 1 ,α 2 , ,α m 及 B : β , β , , β , 若 B组中的每个向量都能由 向量组 A线性表示 ,
            1 2

            s

            则称向量组 B 能?#19978;?#37327;组 A 线性表示 . 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示 , 则称这两个向量组等价 .

            5 线性相关
            定义: 给定向量组 A : α 1 ,α 2 , ,α m , 如果存在不全为零的数 则称向量组 A是线性相关的 , 否则称它线性无关 . 定理: 向量组 α 1 ,α 2 , ,α m 线性相关 它所构成的矩阵 A = (α 1 ,α 2 , ,α m )的秩 R ( A) < m; 向量组 α 1 ,α 2 , ,α m 线性无关 它所构成的矩阵 A = (α 1 ,α 2 , ,α m )的秩 R ( A) = m. 定理: (1)若向量组 A : α 1 , α 2 , , α m 线性相关 向量组 A' : α 1 , α 2 , , α m , α m +1 也线性相关 . 若向量组 A' : α 1 , α 2 , , α m , α m +1 线性无关 向量组 A : α 1 , α 2 , , α m 也线性无关 . a1 j a1 j ( 2)设 α j = , α ' j = , ( j = 1,2, , m )即向量 α j 添上一个分量后得到向 量 α ' j . a rj a rj a r +1, j 若向量组 A : α 1 , α 2 , , α m 线性无关 向量组 A' : α '1 , α '2 , , α 'm 线性无关 . 若向量组 A' : α '1 , α '2 , , α 'm 线性相关 向量组 A : α 1 , α 2 , , α m 线性相关 . (3) m 个 n维向量组成的向量组 , 当维数 n小于向量个数 m时一定线性相关 . ( 4 )设向量组 A : α 1 , α 2 , , α m 线性无关 , 而向量组 A' : α 1 , α 2 , , α m , β 线性相关 , 则向量 β 必能?#19978;?#37327;组 A 线性表示 , 且表示式是唯一的 .

            k ,k
            1

            2

            , , k m , 使 k 1α 1 + k 2 α 2 + + k m α m = 0,

            6 向量组的秩
            定义:

            设有向量组 A, 如果在 A中能选出 r个向量 α 1 , α 2 , , α r , 满足 (1)向量组 A0 : α 1 ,α 2 , ,α r 线性无关 ; (2)向量组 A中任意 r + 1个向量(如果A中有r + 1个向量的话 )都线性相关 , 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组); 最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩. 定理:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩 定理:设向量组 B 能?#19978;?#37327;组 A 线性表示,则向量组 B 的秩不大于向量组 A 的秩 推论1:等价的向量组的秩相等 推论2: 设 C m×n = Am× s B s×n , 则R(C ) ≤ R( A), R(C ) ≤ R( B ). 推论3(最大无关组的等价定义) 设向量组 B 是向量组 A 的部分组,若向量组 B 线性无关,且向量组 A 能?#19978;?#37327;组 B 线性表示,则向 量组 B 是向量组 A 的一个最大无关组

            7 向量空间
            定义: 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V 非空,且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称集合

            V 为向量空间
            所谓封闭 , 是指在集合 V中可以进行加法及数乘 两种运算 : 若 α ∈ V , β ∈ V , 则 α + β ∈ V ; 若 α ∈ V , λ ∈ R , 则 λα ∈ V .

            8 子空间
            定义: 设有向量空间 V 1 及 V 2 , 若 V 1 V 2 , 就称 V 1 是 V 2 的子空间. 任何由n维向量所组成的向量空间V都是 Rn 的子空间.

            9 基与维数
            定义: 设 V为向量空间 , 如果 r个向量 α 1 , α 2 , , α r ∈ V , 且满足 (1) α 1 , α 2 , , α r 线性无关 ; ( 2)V中任一向量都可由 α 1 , α 2 , , α r 线性表示 , 则向量组 α 1 , α 2 , , α r 就称为向量空间 V的一个基 , r称为向量空间 V的维数 , 并称 V为 r维向量空间 .

            若向量空间没有基 , 那么 V的维数为 0 0维向量空间只含一个零 向量 O.

            若把向量空间 V看作向量组 , 则

            V的基就是向量组的最大 线性无关组 , V的维数就是向量组的秩 .

            向量空间的构造
            r 若向量组 α 1 , α 2 , , α r 是向量空间 V的一个基 , 则 V可表示为 V = x = ∑ λ i α i λ i ∈ R , i = 1, 2, , r . i =1

            10 齐次线性方?#22871;?br />向量方程 a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = 0, a 21 x1 + a22 x2 + + a 2 n x n = 0, 记齐次线性方?#22871;? a m1 x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = 0, a11 a12 a1n x1 a 21 a 22 a 2 n x2 A= , x = , amn a m1 a m 2 xn 则(1)式可写?#19978;?#37327;方程 解向量 ξ 11 ξ 若 x1 = ξ 11 , , x n = ξ n1 为 (1)的解 , 则 x = ξ = 21 称为方?#22871;?(1)的解向量 , 它也就是向量方程 ( 2)的解 . 1 ξ n1 解向量的性质 性质1: 若x = ξ 1 , x = ξ 2 为(2)的解, 则x = ξ 1 + ξ 2 也是(2)的解. 性质2: 若x = ξ 1 为(2)的解, k为实数, 则x = k ξ 1也是(2)的解. 定义: 设S为方?#22871;?(1)的全体解向量所组成的 集合 , 则集合 S对向量的线性运算封闭 , 所以集合 S是一个向量空间 , 称为齐次线性方?#22871;?(1)的解空间 .

            (1)的系数矩阵和未知量为

            Ax = O.

            (2)

            定理:

            n元齐次线性方?#22871;?Am×n x = O的全体解所构成的集合S是一个向量空间,
            当系数矩阵的秩R( Am×n) = r时, 解空间S的维数为n r.

            定义: 解空间 S的基称为方?#22871;?(1)的基础解系.

            11 非齐次线性方?#22871;?br />
            向量方程 a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = b2 , a m1 x1 + a m 2 x2 + + a mn x n = bm ,

            非齐次线性方?#22871;?br />
            (3)

            可写为向量方程 解向量

            Ax = β

            (4)

            向量方程 (4) 的解就是方?#22871;?(3) 的解向量 解向量的性质 性质1 若x = η 1 , x = η 2 为( 4)的解 , 则x = η 1 η 2 为对应的齐次线性方程 组

            Ax = O

            ( 2)的解.

            性质2 若x = η是方程 ( 4)的解 , x = ξ是方程 ( 2)的解 , 则 x = ξ + ?#19988;?#26159;方程 ( 4)的解.

            12 线性方?#22871;?#30340;解法
            (1)求齐次线性方?#22871;?#30340;基础解系 若齐次线性方?#22871;?Ax = O的秩 R ( A) = r , 而方?#22871;?#20013;未知数的个 数为 n, 那么方?#22871;?#30340;一个基础 解系含线性无关的 n r个解向量 , 不妨设为 α 1 , α 2 , , α n r , 可按下面步骤进行 : 1 0 0 0 1 0 第一步:对系数矩阵进行初等行变换,使其变成行最简形矩阵 0 0 1 0 0 0 0 0 0

            c c c

            1, r +1 2 , r +1


            r , r +1

            0 0



            c c

            2,n cr ,n 0 0
            1, n

            第二步 : 将第 r + 1, r + 2, n列前 r个分量反号 , 于是得 α 1 , α 2 , , α n r 的第1,2, , r个分量 , 即 c1,r +1 c1,r + 2 c1, n c 2, r +1 c 2,r + 2 c2,n α 1 = cr ,r +1 , α 2 = c r , r +1 , , α n r = c r ,n ; 第三步:将其余 n r 个分量?#26469;?#32452;成 n r 阶单位矩阵,于是得齐次线性方?#22871;?#30340;一个基础解系

            c1,r +1 c1, r + 2 c1,n c 2,r +1 c2,r + 2 c 2, n c r ,r +1 c r ,r + 2 cr ,n ,α 2 = , , α n r = . α1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (2)求非齐次线性方?#22871;?#30340;特解 若非齐次线性方?#22871;?Ax = β 的秩 R ( A) = R ( B ) = r , 而方?#22871;?#20013;未知数的个 数为 n , 那么对增广矩阵 B 进行初等行变换 , 使其成为行最简形矩阵 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

            c c c

            1, r +1 2 , r +1


            r , r +1

            0 0



            c c c

            1, n 2,n


            r ,n

            0 0

            d1 d 2 d r , 0 0

            将上述矩阵中最后一列的前 r 个分量?#26469;?#20316;为特解的第 1,2,...., r 个分量, 其余 n r 个分量全部取零, 于是得 d1 d2 η = d r , 0 0 即为所求非齐次线性方?#22871;?#30340;一个特解.

            相似矩阵及二次型
            1 向量内积的定义及运算规律
            x1 x2 定 义 : 设有 n维向量 x = , xn y1 y y = 2 , 令[ x, y ] = x1 y1 + x 2 y 2 + + x n y n , [ x, y ]称为向量 x与y的内积. y n

            内积的矩阵表示 [ x, y ] = xT y , 其中x, y都是列向量.

            内积满足下?#24615;?#31639;规律 (其中 x, y , z为 n维向量 , λ 为实数 ) : (1)[ x, y ] = [ y , x ]; ( 2)[ λ x, y ] = λ [ x, y ]; (3)[ x + y , z ] = [ x, z ] + [ y , z ].

            2 向量的长度
            2 2 2 定义: 令 x = [ x, x] = x1 + x2 + + x n ,

            x 称为n维向量x的长度(或范数).

            向量的长度具有下列性质: (1)非负性 当x ≠ 0时, x > 0; 当x = 0时, x = 0; (2)齐次性

            λx = λ x ; x+ y ≤ x + y .

            (3)三角不等式

            当 x = 1时, 称 x为单位向量 . 向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x, y ] ≤ [ x, x ][ y , y ], 从而有
            2

            [ x, y ] ≤ 1, (当 x y ≠ 0时). x y

            3 向量的夹角
            定义: 当 x ≠ 0, y ≠ 0时, θ = arccos 当[ x, y ] = 0时, 称向量x与y正交. 若x = 0, 则x与任何向量都正交. [ x, y ] , 称为 n维向量 x与 y的夹角. x y

            4 正交向量组的性质
            所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量.向量空间的基若是正交向量组,就称为正?#25442;? 定理: 若n维向量 α 1 , α 2 , , α r 是一组两两正交的非零 向量, 则α 1 , α 2 , , α r 线性无关. 定义 设n维向量 γ 1 , γ 2 , , γ r 是向量空间 V (V R n )的一个基 , 如果 γ 1 , γ 2 , , γ r 两两正交 , 则称 γ 1 , γ 2 , , γ r 是V的一个规范正?#25442;?. 若 γ 1 , γ 2 , , γ r 是V的一个规范正?#25442;?, 那么 V中任一向量 α都可表为 α = λ 1 γ 1 + λ 2 γ 2 + + λ r γ r , 其中 λ i = [α , γ i ], (i = 1,2, , r ). 施密特正?#25442;?#26041;法 设 α 1 , α 2 , , α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V的一个规范正?#25442;?, 只需把 α 1 , α 2 , , α r 这个基规范正?#25442;?. 第一步 正?#25442;?br />


            β 1 = α1; β2 =α2
            [ β 1 , α 2] b1 ; [ β 1 , β 1] [β 1 , α r ] [β , α ] [ β r 1 , α r ] β 1 2 r β 2 β . [ β 1 , β 1] [ β 2 , β 2] [ β r 1 , β r 1] r 1



            βr =αr

            则 β 1 , β 2 , , β r 两两正交, 且与α 1 , α 2 , , α r 等价. 第二步 取 单位化 1 = 1 1 1 β 1 , 2 = β 2 , , r = β r , 就得 V的一个规范正?#25442;?. β1 β2 βr

            5 正交矩阵与正交变换
            T 定义: 如果 n阶矩阵 A满足 A A = E

            (即 A1 = AT ), , 那么称 A为正交矩阵 .

            方阵 A 为正交矩阵 A 的行(列)向量都是单位向量,且两两正交. 正交矩阵 A的 n个列(行)向量构?#19978;?#37327;空间 R n 的一个规范正?#25442;?. 定义:若 P 为正交矩阵,则线性变换 y = Px 称为正交变换 正交变换的特性在于保持线段的长度不变. 设y = Px为正交变换 , 则有 y =
            T y y = xT PT px = xT x = x .

            6 方阵的特征值和特征向量
            定义: 设A是n阶矩阵, 如果数λ和n维非零列向量x?#26500;?#31995;式

            Ax = λx成立,

            那么, 这样的数λ称为方阵A的特征值, 非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.

            A λE = 0称为方阵A的特征方程. f (λ ) = A λE 称为方阵A的特征多项式. n阶方阵A有n个特征值.若A = (aij )的特征值为 λ1 , λ 2 , , λ n , 则有
            (1) λ1 + λ 2 + + λ n = a11 + a 22 + + a nn ; (2) λ1 λ 2 λ n = A .

            7 有关特征值的一些结论

            设λ是A = (aij )n×n 的特征值, 则 (1)λ也是 AT 的特征值; (2) λ k 是 Ak 的特征值(k为任意自然数);

            (λ )是 ( A)的特征值.其中 (λ ) = a0 + a1 λ + + a m λ m , ( A) = a0 E + a1 A + + a m Am .
            (3)当A可逆时, 1 1 是 A1的特征值; A 是 A的特征值. λ λ

            8 有关特征向量的一些结论
            设 λ 1 , λ 2 , , λ m 是方阵 A的 m个特征值 , p1 , p 2 , , p m ?#26469;?#26159;与之对应的特征 向量 , 定理: 如果 λ 1 , λ 2 , , λ m 各不相等 , 则 p1 , p 2 , , p m 线性无关 . 即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的 . 定理:属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.

            9 相似矩阵
            设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P, 使 P 1 AP = B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似. 定义: 对A进?#24615;?#31639; P 1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵. 矩阵之间的相似具有(1)自反性;(2)对称性;(3)传递性

            10 有关相似矩阵的性质
            (1)若 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值亦相同 λ1 λ2 (2)若A与对角矩阵∧ = 相似, 则 λ1 , λ 2 , , λ n 是A的n个特征值. λn (3)若A = PB P 1 , 则 Ak = P B k P 1 , ( A) = P ( B) P 1 . 特别地, 若有可逆阵P, 使 P1 AP = ∧为对角阵, 则有 Ak = P ∧ k P1 , ( A) = P (∧ ) P 1. (4) A 能对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量 (5) A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角阵相似.

            11 实对称矩阵的相似矩阵
            (1)实对称矩阵的特征值为 实数. ( 2)实对称矩阵的属于不同 特征值的特征向量必正 交. (3)若λ 是实对称矩阵 A的r重特征值 , 则对应 λ的必有 r个线性无关的特征向量 . ( 4)实对称矩阵必可对角化 .即若 A为n?#36164;?#23545;称阵 , 则必有正交阵 P, 使得 P 1 AP = ∧ , 其中 ∧是以 A的n个特征值为对角元素的 对角阵.

            12 二次型
            含有 n个变量 x1 , x 2 , , x n 的二次齐次函数
            2 定义: f ( x1 , x 2 , , x n ) = a11 x1 + a 22 x 2 + + a nn x 2 + 2 a12 x1 x 2 + 2 a13 x1 x3 + + 2 a n 1, n x n 1 x n 2 n

            称为二次型 . 二次型可记作 f = x T Ax , 其中 AT = A. A 称为二次型 f 的矩阵 ,

            f 称为对称阵 A 的二次型 ,
            对称阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 . 二次型与它的矩阵是一一对应的
            当 aij 是复数时, f称为复二次型; 当 aij 是实数时, f称为实二次型.

            13 二次型的标准形
            2 2 2 定义: 只含平方项的二次型 f = k 1 y1 + k 2 y 2 + + k n y n 称为二次型的标准形 (或法式 ).

            14 化二次型为标准形
            (1)任给可逆矩阵 C , 令B = C T AC , 如果A为对称阵, 则B亦为对称阵 , 且R ( B ) = R ( A)..
            n

            ( 2)任给实二次型 f = 使f化为标准形

            i , j =1

            ∑a

            ij

            x i x j ( a ij = a ji ), 总有正交变换 x = Py ,

            2 f = λ 1 y1 + λ 2 y 2 + λ n y 2 , 其中 λ 1 , λ 2 , , λ n 是 f的矩阵 A = ( aij )的特征值 . 2 n

            (3)拉格朗日配方法亦可把 二次型化为标准形 , 此时所用的可逆线性变 换一般而言不是正交变 换.

            15 正定二次型
            设有实二次型f ( x) = xT Ax, 定义: 如果对任何x ≠ 0, 都有f ( x) > 0(显然f (0) = 0), 则称f为正定二次型, 并称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x ≠ 0, 都有f ( x) < 0, 则称f为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.

            16 惯性定理
            设有实二次型 f = xT Ax , 它的秩为 r , 有两个实的可逆变换 x = Cy 及 使
            2 f = k 1 y1 + k 2 y 2 + + k r y 2 2 r

            定理:

            x = Pz
            2 f = λ 1 z1 + λ 2 z 2 + + λ r z 2 2 r

            ( k i ≠ 0), 及

            (λ i ≠ 0),

            则 k 1 , k 2 , , k r 中正数的个数与 λ 1 , λ 2 , , λ r 中正数的个数相等 .

            k 1 , k 2 , , k r 中正数的个数 p称为正惯性指数 ; r p = N 称为负惯性指数 ; 注意: s = p N = p ( r p ) = 2 p r 称为 f的符号差 .
            它们是二次型对于非退 化线性变换的不变量 .

            17 正定二次型的判定
            (1)实二次型 f = xT Ax为正定的充分必要条件 是 : 它的标准形的 n个系数全为正 , 即正惯性指数 p = n; (2)对称矩阵 A为正定的充分必要条件 是 : A的特征值全为正 ; (3)(霍尔维茨定理) 对称矩阵A为正定的充分必要条件是 :

            a11 a1n a11 a12 A的各阶主子式都为正,即 a11 > 0; > 0; , > 0; a 21 a 22 a n1 a nn
            对称矩阵A为负定的充分必要条件是 :

            a11 a1r 奇数阶主子式为负, 而偶数阶主子式为正, 即 (1) > 0, (r = 1,2, , n). a r1 a rr
            r

            线性空间与线性变换
            1 线性空间的定义
            设 V 是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任意两个元素α , β ∈ V , 总有唯一一个元素γ ∈ V与之对应, 称为α与β 的和, 记γ = α + β ; 设 V 是一个非空集合, R为实数域. 如果对于任一数λ ∈ R与任一元素α ∈ V , 总有唯一一个元素δ ∈ V与之对应, 称为λ与α的积, 记δ = λα ; 并且这两种运算满足以下八条运算规律(设α , β , γ ∈ V ; λ , ∈ R) : (1)α + β = β + α ; (2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (3)在V中存在零元素0; 对任何α ∈ V , 都有α + 0 = α ; (4)对任何α ∈ V , 都有α的负元素β ∈ V , 使α + β = 0; (5)1α = α ; (6)λ ( α ) = (λ )α ; (7)(λ + )α = λα + α ; (8)λ (α + β ) = λα + λβ , 则, V 就称为(实数域 R 上的)向量空间(或线性空间) V 中的元素不论其本来的性质如何,统 , 称为(实)向量 简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,就称为线性运算;凡定义了线性运算的集合,就称为 向量空间.

            2 线性空间的性质
            (1)零元素是唯一的; (2)任一元素的负元素是唯一的, α的负元素记作 α ; 作 α ; (3)0α = 0; (1)α = α ; λ 0 = 0; (4)如果λα = 0, 则λ = 0或α = 0.

            3 子空间
            定义: 设 V 是一个线性空间, L 是 V 的一个非空子集, 如果 L 对于 V 中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间,则称 L 为 V 的子空间 定理: 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间 L 对于 V 中的线性运算封闭

            4 线性空间的维数,基与坐标
            在线性空间V中, 如果存在n个元素 α 1 , α 2 , , α n , 满足 : 定义: (1) α 1 , α 2 , , α n 线性无关; (2)V中任一元素α总可由α 1 , α 2 , , α n 线性表示, 那么, α 1 , α 2 , , α n 就称为线性空间V的一个基, n称为线性空间V的维数. 维数为n的线性空间称为n维线性空间, 记作V n . 设 α 1 , α 2 , , α n 是线性空间V n 的一个基, 定义: 对于任一元素α ∈ V n , 总有且仅有一组?#34892;?#25968; x1 , x 2 , , x n , 使α = x1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n ,
            T x1 , x 2 , , x n 这组?#34892;?#25968;就称为元素α在α 1 , α 2 , , α n 这个基下的坐标, 记α = ( x1 , x2 , , x n ) .

            一般地,设 V 与 U 是两个线性空间,如果在它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关?#24403;?持线性组合的对应,那么就说线性空间 V 与 U 同构 线性空间的结构完全被它的维数所决定. 任何 n 维线性空间都与 R n 同构,即维数相等的线性空间都同构

            5 基变换

            设 α 1 , , α n 及 β 1 , , β n 是线性空间V n 中的两个基, β 1 = p11α 1 + p21 α 2 + + p n1α n , β 2 = p12 α 1 + p22 α 2 + + p n 2 α n , (1) β n = p1n α 1 + p 2 n α 2 + + p nn α n , 把 α 1 , , α n 这n个?#34892;?#20803;素记作(α 1 , , α n ), 利用向量和矩阵的形式, (1)式可表示为 β 1 p11 p 21 p n1 α 1 α1 β 2 p12 p 22 p n 2 α 2 T α 2 =P = β p α α n n 1n p 2 n p nn n 或 ( β 1 , β 2 , , β n ) = (α 1 , α 2 , , α n) P. (2) (1)或(2)称为基变换公式, 矩阵P称为由基 α 1 , α 2 , , α n 到基 β 1 , β 2 , , β n 的过渡矩阵. 由于 β 1 , β 2 , , β n 线性无关, ?#20351;?#28193;矩阵可逆.

            6 坐标变换
            设 V n 中的元素α , 在基 α 1 , α 2 , , α n 下的坐标为 ( x1 , x2 , , x n)T , 在基 β 1 , β 2 , , β n 下的坐标为 ( x1 ' , x2 ' , , xn ' )T , 若两个基满足关系式( β 1 , β 2 , , β n ) = (α 1 , α 2 , , α n) P 则有坐标变换公式 x1 x1 ' x2 x2 ' = P , ' xn xn x1 ' x1 x2 ' 1 x 2 或 = P ' xn xn

            反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式, 则两个基满足基变换公式( β 1 , β 2 , , β n ) = (α 1 , α 2 , , α n) P.

            7 线性变换的定义
            设有两个非空集合A, B, 如果对于A中的任一元素α , 按照一定规则, 总有B中一个?#33539;?#30340;元素β 和它对应, 则, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或?#25104;?, 记作β = T (α )或β = Tα , (α ∈ A). 设α ∈ A, T (α ) = β , 就?#24403;?#25442; T把元素 α变为 β , β 称为 α在变换 T下的象 , α称为 β 在变换 T下的源.

            A称为变换 T的源集 , 象的全体所构成的集合 称为象集 , 记作 T ( A)
            即 T ( A) = {β = T (α ) α ∈ A}, 显然 T ( A) B. 变换的概念是函数概念的推广

            设 V n ,U m 分别是实数域上的n维和m维线性空间, T是一个从 V n 到U m 的变换, 如果变换T满足 (1)任给 α 1 , α 2 ∈ V n , (从而α 1 + α 2 ∈ V n ), 有T (α 1 + α 2) = T (α 1) + T (α 2); (2)任给α ∈ V n , k ∈ R, (从而kα ∈ V n ), 有T (kα ) = kT (α ), 那么, T就称为从 V n 到U m 的线性变换. 简言之, 线性变换就是保持线性组合的对应的变换. 特别地, 如果U m = V n , 那么T是一个从线性空间V n 到其自身的线性变换, 称为线性空间V n 中的线性变换.

            8 线性变换的性质
            1 T 0 = 0, T (α ) = Tα ; 2 若β = k1α 1 + k 2 α 2 + + k m α m , 则T ( β ) = k 1 T α 1 + k 2 T α 2 + + k m T α m ; 3 若 α 1 , α 2 , , α m 线性相关, 则T α 1 , T α 2 , , T α m 亦线性相关, 反之不然. 4 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间(V n 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 5 使Tα = 0的α的全体

            S T = { α ∈ V n , Tα = 0}, 也是V n 的子空间. S T 称为线性变换T的核. α

            9 线性变换的矩阵表示
            n R 中任何线性变换T , 都可用关系式 T ( x) = Ax

            ( x ∈ Rn )表示,

            a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 其中A = (T (1), T (2), , T (n)) = , 1 , 2 , , n 为单位坐标向量. a n1 a n 2 a nn

            10 线性变换在给定基下的矩阵
            设T是线性空间V n 中的线性变换, 在V n 中取定一个基 α 1 , α 2 , , α n , T (α 1) = a11α 1 + a 21α 2 + + a n1α n , T( ) = α 2 a12 α 1 + a 22 α 2 + + a n 2 α n , 如果这个基在变换T下的象(用这个基线性表示)为 T (α n) = a1n α 1 + a 2 n α 2 + + a nn α n , 记T (α 1 , α 2 , , α n ) = (T (α 1), T (α 2), , T (α n )), 上式可表示为 a11 a12 a1n a 21 a 22 a2 n T (α 1 , α 2 , , α n) = (α 1 , α 2 , , α n) A, 其中 A = , a n1 a n 2 ann 那么, A就称为线性变换T在给定基 α 1 , α 2 , , α n 下的矩阵.

            在V n 中取定一个基后, 由线性变换T可唯一地?#33539;?#19968;个矩阵A, 由一个矩阵A也可唯一地?#33539;?#19968;个线性变换T . 在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一对应的.

            11 线性变换在不同基下的矩阵
            在线性空间V n 中取定两个基 α 1 , α 2 , , α n 与 β 1 , β 2 , , β n ,由基 α 1 , , α n 到基 β 1 , , β n 的过渡矩阵为P, V n 中的线性变换T在这两个基下的矩阵?#26469;?#20026;A和B, 那么B = P1 AP. 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的, 反之, 相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下 的矩阵 线性变换T的象空间T (V n )的维数, 称为线性变换T的秩. 若A是T的矩阵, 则T的秩就是R( A). 若T的秩为r , 则T的核 S T 的维数为n r.

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